Question

已知函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）+n在區間[0，

π

2

]上的最大值為3，則（Ⅰ）n=

 

；（Ⅱ）對任意a∈R，函數y=f（x+a）在[0，10π]上的零點個數為

 

．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）根據正弦函數的圖象求出函數的最值，即可求出n，
（Ⅱ）根據已知推斷區間的長度為20π，求得函數的最小正周期，推斷出在此區間共有多少個周期，利用每個周期內零點的個數推斷出共計的零點個數．

解答： 解：（Ⅰ）當0≤x≤

π

2

，
則

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
則當2x+

π

6

=

π

2

時，函數取得最大值為f（x）=2+n=3，
解得n=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，
∴對于區間[a，a+20π]的長度為20π+a-a=20π，
∴在此區間上，函數f（x）可以有20個周期，
當a=-

π

12

+kπ（k∈Z）時，在第一個周期內恰有3個零點，以后每個周期均由2個零點，則此時零點個數為：20×2+1=41．
當a≠-

π

12

+kπ（k∈Z）時，在每個周期內有2個零點，則此時零點個數為：20×2=40．
綜合得零點的個數為40或41個，
故答案為：1，40或41．

點評：本題主要考查了三角形恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．求出函數的最值是解決本題的關鍵．