Question

已知F₁、F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，△PF₁F₂的頂點P為雙曲線上一個動點，△PF₁F₂內切圓圓心I的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：點P是雙曲線右支上一點，按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，設三角形PF₁F₂的內切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），B、C分別為內切圓與PF₁、PF₂的切點．由同一點向圓引得兩條切線相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的內切圓的圓心I的軌跡方程．

解答： 解：設點P是雙曲線右支上一點，
∴按雙曲線的定義，|PF₁|-|PF₂|=2a，
若設三角形PF₁F₂的內切圓心在橫軸上的投影為A（x，0），該點也是內切圓與橫軸的切點．
設B、C分別為內切圓與PF₁、PF₂的切點．考慮到同一點向圓引得兩條切線相等：
則有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）=BF₁-CF₂=AF₁-F₂A=（c+x）-（c-x）
=2x=2a
所以x=a
點P是雙曲線左支上一點時，也成立．
故答案為：x=a．

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．