Question

【題目】如圖，的內心為，、、分別是邊、、的中點，證明：直線平分的周長．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

如圖①，不妨設，的內切圓切、、于、、．

圖①

過作內切圓的直徑，過作的切線分別交、于、，則．

由于是的旁切圓，，因，，

所以有．

延長交于，則，因此，

故是的中位線，所以，

因四邊形為平行四邊形，所以∽，相似比為．

同理，∽，相似比為．

又注意∽，∽，相似比均為，

既然有，所以，

因此，，即所證結論成立．

附注 在幾何題中用到三角形內切圓的一個基本性質．

如圖②，在中，內切圓切于，

設是的直徑，若交于，則．

證明：過作，點、分別在、上．

設的半徑為，，，，，，

連結、、、，由于、分別平分一對互補角、，

所以，且∽，則，．

同理∽，則，，

所以，則． ①

又由，得，所以， ②

根據①②式得，，所以，即，

由此得，，即，也就是．（同時也有．）