Question

【題目】已知f（x）=ex﹣ax2﹣2x+b（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b∈R）．
（Ⅰ）設f′（x）為f（x）的導函數(shù)，證明：當a＞0時，f′（x）的最小值小于0；
（Ⅱ）若a＜0，f（x）＞0恒成立，求符合條件的最小整數(shù)b．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：令g（x）=f'（x）=ex﹣2ax﹣2，則g'（x）=ex﹣2a，
因為a＞0，令g'（x0）=0，x0=ln2a，
所以當x∈（﹣∞，ln2a）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
當x∈（ln2a，+∞）時，g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增
則f'（x）min=g（x）min=g（ln2a）=eln2a﹣2aln2a﹣2=2a﹣2aln2a﹣2
令G（x）=x﹣xlnx﹣2，（x＞0）G'（x）=1﹣（lnx+1）=﹣lnx當x∈（0，1）時，
G'（x）＞0，G（x）單調(diào)遞增
當x∈（1，+∞）時，G'（x）＜0，G（x）單調(diào)遞減
所以G（x）max=G（1）=﹣1＜0，所以f'（x）min＜0成立．
（Ⅱ）f（x）＞0恒成立，等價于f（x）min＞0恒成立
令g（x）=f'（x）=ex﹣2ax﹣2，則g'（x）=ex﹣2a，
因為a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，
又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0
則x∈（﹣∞，x0）時，g（x）=f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（x0 ， +∞）時，g（x）=f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
所以f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax02﹣2x0+b＞0恒成立…（1）
且ex0﹣2ax0﹣2=0…（2）
由（1）（2）， 即可
又由（2）a= ＜0，所以x0∈（0，ln2）
令 +x，x∈（0，ln2）n（x）=m'（x）= +1n'（x）= ＞0，
所以n（x）＞n（0）= ＞0，所以m（x）單調(diào)遞增，m（x）＞m（0）=（﹣1）e0=﹣1， +ln2=2ln2﹣2
所以b＞﹣1，所以符合條件的b=0
法2：令x=0，f（0）=1+b＞0，b＞﹣1，故符合條件的最小整數(shù)b=0．
現(xiàn)證明b=0時，f（x）＞0 求f（x）=ex﹣ax2﹣2x的最小值即可
令g（x）=f'（x）=ex﹣2ax﹣2，則g'（x）=ex﹣2a，因為a＜0，所以g'（x）＞0，所以g（x）單調(diào)遞增，
又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣2a﹣2＞0，所以存在x0∈（0，1），使得g（x0）=0，
則x∈（﹣∞，x0）時，g（x）=f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（x0 ， +∞）時，g（x）=f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
所以f（x）min=f（x0）=ex0﹣ax02﹣2x0 ． （1）
且ex0﹣2ax0﹣2=0…（2）
f（x）min=f（x0）=ex0﹣
又由（2）a= ＜0，所以x0∈（0，ln2））
現(xiàn)在求函數(shù) ﹣x，x∈（0，ln2）的范圍q（x0）=p'（x）= ﹣1，q'（x0）=﹣ ＜0，
所以q（x）＜q（0）=﹣ ＜0，所以p（x）單調(diào)遞減，p（x）＜p（0）=（﹣1）e0=1 ﹣ln2=2﹣ln2＞0
所以b=0是符合條件的．
【解析】（Ⅰ）令g（x）=f'（x）=ex﹣2ax﹣2，求出g'（x）=ex﹣2a，判斷導函數(shù)的符號，推出單調(diào)性，求出原函數(shù)的導數(shù)的最小值，再構(gòu)造最小值函數(shù)，利用導數(shù)求解最小值函數(shù)的最大值為負值，說明f'（x）min＜0成立．（Ⅱ）利用f（x）＞0恒成立，等價于f（x）min＞0恒成立，構(gòu)造g（x）=f'（x）=ex﹣2ax﹣2，求出導函數(shù)g'（x）=ex﹣2a，判斷單調(diào)性，推出 恒成立且 求出b的表達式，a的表達式，在構(gòu)造函數(shù)令 ，判斷單調(diào)性，求出滿足橢圓的b即可．法2：令x=0，得到符合條件的最小整數(shù)b=0，然后證明b=0時，f（x）＞0 求f（x）=ex﹣ax2﹣2x的最小值．令g（x）=f'（x）=ex﹣2ax﹣2，判斷g（x）單調(diào)性，求解函數(shù) ，且 ，在構(gòu)造函數(shù)函數(shù) ，利用函數(shù)的最值，推出b=0是符合條件的．