Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，CD是△ABC的AB邊上的高，DE⊥AC于E、F為BC上一點，連接EF交CD于G．∠CFE-∠EDC．
（1）證明：A、B、F、E四點共圓；
（2）若∠ACB=90°，CE=4，EA=16，BF=2，求A、B、F、E所在圓的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵CD是△ABC的AB邊上的高，∴∠EDG+∠EDA=90°
∵DE⊥AC，∴∠A+∠EDA=90°
∴∠EDG=∠A
∵∠CFE=∠EDC
∴∠CFE=∠A
∴A、B、F、E四點共圓；
（2）設A、B、F、E所在圓的圓心為O，半徑為R，P為AE的中點，Q為BF的中點，
則OP⊥AC，OQ⊥BF
∵∠ACB=90°，∴四邊形OQCP是矩形，即OQ=12
∴R=OB==
∴A、B、F、E所在圓的半徑為．
分析：（1）證明∠EDG=∠A，利用∠CFE=∠EDC，可得∠CFE=∠A，從而可得A、B、F、E四點共圓；
（2）設A、B、F、E所在圓的圓心為O，半徑為R，P為AE的中點，Q為BF的中點，則OP⊥AC，OQ⊥BF，從而可得四邊形OQCP是矩形，OQ=12，由此可求A、B、F、E所在圓的半徑．
點評：本題考查四點共圓，考查學生的計算能力，正確運用四點共圓的判定方法是關鍵．