Question

已知函數f（x）=sin2xcosφ-2cos²xsin（π-φ）-cos（

π

2

+φ）（-

π

2

＜ϕ＜

π

2

），在x=

π

6

時取得最大值．
（1）求φ的值；
（2）將函數y=f（x）圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，若g（α）=

1

3

，α∈（-

π

2

，0），求cosα的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角恒等變換，化簡f（x）=sin（2x-φ），再由y=f（x）在x=

π

6

時取得最大值，即可求得φ；
（2）依題意得g（α）=sin（α+

π

6

）=

1

3

，又α∈（-

π

2

，0），可求得cos（α+

π

6

）的值，利用兩角差的余弦可得cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]，從而可得答案．

解答： 解：（1）f（x）=sin2xcosφ-2cos²xsin（π-φ）-cos（

π

2

+φ）
=sin2xcosφ-（1+cos2x）sinφ+sinφ
=sin（2x-φ），
∵y=f（x）在x=

π

6

時取得最大值，∴2×

π

6

-φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=-2kπ-

π

6

（k∈Z），
又φ∈（-

π

2

，

π

2

）
∴φ=-

π

6

；
（2）依題意，得g（x）=sin（x+

π

6

），
∵g（α）=sin（α+

π

6

）=

1

3

，α∈（-

π

2

，0），
∴cos（α+

π

6

）=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，
∴cosα=cos[（α+

π

6

）-

π

6

]=cos（α+

π

6

）cos

π

6

+sin（α+

π

6

）sin

π

6

=

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

=

2 6 +1

6

．

點評：本題考查三角函數的恒等變換及其應用，考查正弦函數的最值、圖象變換及兩角和與差的余弦的綜合應用，屬于中檔題．