Question

【題目】某地方政府要將一塊如圖所示的直角梯形ABCD空地改建為健身娛樂(lè)廣場(chǎng).已知AD//BC, 百米， 百米，廣場(chǎng)入口P在AB上，且，根據(jù)規(guī)劃，過(guò)點(diǎn)P鋪設(shè)兩條相互垂直的筆直小路PM,PN（小路的寬度不計(jì)），點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上（包含端點(diǎn)），區(qū)域擬建為跳舞健身廣場(chǎng)， 區(qū)域擬建為兒童樂(lè)園，其它區(qū)域鋪設(shè)綠化草坪，設(shè).

（1）求綠化草坪面積的最大值；

（2）現(xiàn)擬將兩條小路PNM,PN進(jìn)行不同風(fēng)格的美化，PM小路的美化費(fèi)用為每百米1萬(wàn)元，PN小路的美化費(fèi)用為每百米2萬(wàn)元，試確定M,N的位置，使得小路PM,PN的美化總費(fèi)用最低，并求出最小費(fèi)用.

Answer 1

【答案】(1) 綠化草坪面積的最大值為平方百米;(2) 時(shí)總美化費(fèi)用最低為4萬(wàn)元.

【解析】試題分析：（1）先求得

,再利用均值不等式求得正解；（2）先求得 ，

總美化費(fèi)用為 ，再利用導(dǎo)數(shù)工具求得正解.

試題解析：（1）在中， ，得，

所以

由,

在中， ，得，

所以

所以綠化草坪面積

又因?yàn)?/span>

當(dāng)且當(dāng)，即。此時(shí)

所以綠化草坪面積的最大值為平方百米.

（2）方法一：在中， ，得，

由,

在中， ，得，

所以總美化費(fèi)用為

令得列表如下

		-	0	-
		單調(diào)遞減		單調(diào)遞增

所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)總美化費(fèi)用最低為4萬(wàn)元。

方法二：在中， ，得，

由,

在中， ，得，

所以總美化費(fèi)用為

令得

所以，

所以在上是單調(diào)遞減

所以當(dāng)， 時(shí)，即時(shí)總美化費(fèi)用最低為4萬(wàn)元。