Question

【題目】如圖，已知在三棱臺中，，，.

（1）求證：；

（2）過的平面分別交，于點，，且分割三棱臺所得兩部分幾何體的體積比為，幾何體為棱柱，求的長.

提示：臺體的體積公式（，分別為棱臺的上、下底面面積，為棱臺的高）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

（1）在中，利用勾股定理，證得，又由題設條件，得到，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進而得到；

（2）設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，根據棱臺的體積公式，列出方程求得，得到，即可求解.

（1）由題意，在中，，，

所以，可得，

因為，可得.

又由，，平面，所以平面，

因為平面，所以.

（2）因為，可得，

令，，

設三棱臺和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為，

則，整理得，

即，解得，即，

又由，所以.