Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx在x₀處取得極小值-2，使其導函數f′（x）＜0的范圍為（-1，1）
（Ⅰ）求x₀的值及f（x）的解析式
（Ⅱ） 設點A為函數f（x）圖象上極大值對應的點，曲線f（x）在點A處的切線l₁交f（x）的圖象于另一點B，且曲線f（x）在點B處的切線l₂，在原點O處的切線為l，直線l₁，l₂分別與直線l交于M，N，求證：

NO

=2

OM

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（I）由f′（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集為（-1，1），可得f′（x）=3a（x+1）（x-1），且a＞0．判斷出f′（-1）=0，f′（1）=0，f（1）=-2，解出即可．
（II）由（I）可得A（-1，2），利用導數研究函數的切線方程即可得出：直線l₁，l₂與直線l的方程，進而證明．

解答： （I）解：∵f′（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集為（-1，1），
∴f′（x）=3a（x+1）（x-1），且a＞0．
∵x∈（-∞，-1]時，f′（x）＞0；
x∈（-1，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數f（x）在x₀=1處取得極小值-2，在x=-1處取得極大值．
由f′（-1）=0，f′（1）=0，f（1）=-2，
解得：a=1，b=0，c=-3，
∴x₀=1，f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）證明：∴x=-1時，f（x）有極大值2，
A（-1，2），曲線y=f（x）在點A處的切線的斜率k₁=0．直線l₁的方程為y=2．
曲線y=f（x）在點B（2，2）處的切線的斜率k2=3×22-3=9，
直線l₂的方程為y-2=9（x-2）．
又曲線y=f（x）在點O處的切線的斜率k=3×0²-3=-3．
直線l的方程為y=-3x．
聯立直線l₁的方程與直線l的方程，

y=2 y=-3x

，解得

x=- 2 3 y=2

，
∴M(-

2

3

，2)．
聯立直線l₂的方程與直線l的方程，

y-2=9(x-2) y=-3x

，解得

x= 4 3 y=-4

，
∴N(

4

3

，-4).

NO

=(-

4

3

，4).

OM

=(-

2

3

，2)，
∴

NO

=2

OM

．

點評：本題考查了利用導數研究函數單調性極值、切線的方程，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．