Question

已知圓：x²+y²-4x-6y+12=0，點P（x，y）為圓上任意一點，
（1）求

y

x

的最值；
（2）求（x+1）²+y²的最值．

Answer 1

考點：圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：（1）設k=

y

x

，利用k的幾何意義以及點到直線的距離公式即可進行求解；
（2）（x+1）²+y²的幾何意義為P到定點A（-1，0）的距離的平方，利用圓的性質求出距離即可．

解答： 解：（1）圓的標準方程為（x-2）²+（y-3）²=1，
則圓心坐標為G（2，3），半徑R=1，
設k=

y

x

，則y=kx，即kx-y=0，
則滿足圓心到直線的距離d=

|2k-3|

1+k2

≤1，
即|2k-3|≤

1+k2

，
平方得3k²-12k+8≤0，
解得

6-2 3

3

≤k≤

6+2 3

3

，
故

y

x

的最小值為

6-2 3

3

，最大值為

6+2 3

3

；
（2）（x+1）²+y²的幾何意義為P到定點A（-1，0）的距離的平方．
則AG=

(-1-2)2+32

=

9+9

=3

2

，
P到定點A（-1，0）的最大距離為AC=3

2

+1，最小距離為AB=3

2

-1，
則（x+1）²+y²的最大值為（3

2

+1）²=19+6

2

，（x+1）²+y²的最小值（3

2

-1）²=19-6

2

．

點評：本題主要考查圓的方程的應用，利用斜率和距離的幾何意義結合數形結合是解決本題的關鍵．