Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a_n+a_n+4=2abn，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{c_n}中，c₁c₉=16，c₃c₅=4，則數(shù)列{b_nc_n}的前n項(xiàng)和為（　　）

• A、（n+2）•2^n-1-

  1

  2

• B、

  1

  2

  -（n+2）•2^n-1
• C、（n+1）•2^n-2-

  1

  4

• D、

  1

  4

  -（n+1）•2^n-2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a_n+2=2abn，從而得到b_n=n+2；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，易得c_n=c₄q^n-4=2^n-3，設(shè)數(shù)列{b_nc_n}的前n項(xiàng)和為S_n，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{b_nc_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)得a_n+a_n+4=2a_n+2，又已知a_n+a_n+4=2abn，所以2a_n+2=2abn．
因?yàn)楣�差不�?，所以b_n=n+2．
因?yàn)閿?shù)列{c_n}各項(xiàng)為正，所以由c₁c₉=c52=16，得c₅=4，同理，由c₃c₅=

c

2 4

=4，得c₄=2，
所以公比q=

c5

c4

=2，所以c_n=c₄q^n-4=2^n-3．
設(shè)數(shù)列{b_nc_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
則S_n=3×2^-2+4×2^-1+5×2⁰+6×2¹+…+（n+1）•2^n-4+（n+2）•2^n-3，①
2S_n=3×2^-1+4×2⁰+5×2¹+6×2²+…+（n+1）•2^n-3+（n+2）•2^n-2，②
①-②，得-S_n=3×2^-2+（2^-1+2⁰+2¹+…+2^n-3）-（n+2）•2^n-2，
化簡得S_n=（n+1）•2^n-2-

1

4

．
故答案為：C．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出考查“錯(cuò)位相減法”求和，考查分析、運(yùn)算能力，屬于中檔題．