Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n為正整數）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

，求數列{

1

bn

}的前n項和T_n．
（3）記cn=

Sn

an

．證明：?r，s∈N^*，且r＜s，都有c_r＜c_s．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）在給出的數列遞推式中取n=1求得a₁，當n≥2時取n=n-1得另一遞推式，作差后兩邊同時除以2ⁿ得到等差數列{

an

2n

}，求出其通項公式后可得數列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）中求出的數列{a_n}的通項公式代入b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

，利用對數的運算性質化簡，然后利用裂項相消法求和；
（3）把a_n代入cn=

Sn

an

，然后利用作差法證明數列{c_n}為遞增數列后得答案．

解答： （1）解：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2  ①
取n=1得，S1=2a1-22+2=a1，即a₁=2．
當n≥2時，Sn-1=2an-1-2n+2  ②
①-②得，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n，
∴an=2an-1+2n，
則

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
又

a1

2

=1，
∴數列{

an

2n

}是首項為1，公差為1的等差數列．
∴

an

2n

=n，
an=n•2n；
（2）解：由（1）得

an

n

=2n，
∴b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

；
（3）證明：只需證明數列{c_n}為遞增數列，
∵cn=

Sn

an

=

2an-2n+1+2

an

=2+

-2n+1+2

n•2n

，
∴cn+1-cn=

-2n+2+2

(n+1)•2n+1

-

-2n+1+2

n•2n

=

2n+1-n-2

n(n+1)•2n

，
∵2n+1=(1+1)n+1＞

C

0 n+1

+

C

1 n+1

=n+2，
∴c_n+1-c_n＞0，
∴c_n+1＞c_n，
∴?r，s∈N^*，且r＜s，都有c_r＜c_s．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的和，考查了數列的函數特性，訓練了作差法證明數列不等式，是中檔題．