【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓
左、右焦點分別為
，
，離心率為
，兩準線間距離為8，圓O的直徑為
，直線l與圓O相切于第四象限點T，與y軸交于M點，與橢圓C交于點N（N點在T點上方），且
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）求直線l的方程；
（3）求直線l上滿足到，距離之和為
的所有點的坐標．
【答案】（1）
（2）
．（3）
和
．
【解析】
(1) 根據橢圓的性質、離心率和兩準線間的距離，列出以下方程：
①，
②，
③，然后求解即可.
(2) 法一：設切點
，則
⑤, 利用
和
為核心參數，依次表示直線OT的斜率，直線
的方程，以及N點的坐標，然后列方程求解即可求出和，進而即可求解.
法二：設
，
，然后，以
，
，
為核心參數，列出直線的方程，又因與
相切，則列出圓心距
的方程，最后根據(1)中的方程，聯合求解即可.
(3) 因為到
，
距離之和為
的所有點的集合為橢圓C，
所以滿足題意的點為直線l與橢圓C的公共點，
聯立④和
⑨得：
，然后求解即可.
解：（1）設橢圓C的焦距為
，因為離心率為①，
兩準線間距離為②，又③，
由①②③解得
，
．則橢圓C的標準方程為④
（2）法一：設切點，則⑤，因T在第四象限，所以
，
，
直線OT的斜率
，因為
，所以直線的斜率
，
直線
，由⑤得：
⑥，
令
，得
，
因為
，
，所以，T為MN中點，所以
，
代入（1）中④得：
，解得：
，
，
代入⑥式得：直線l的方程為．
法二：設，，則
⑤，設直線
⑦，
因為切點T在第四象限，所以
，
，
．
因l與相切，則圓心距
，
⑧，
因為，則
，所以
⑨，
聯立⑤⑨解得：
，
，
因為，所以
，
，
則
，由⑧得
，解得
，
．
當時，
，與矛盾．則，代入⑧，得
，
所以直線l方程為⑨．
（3）因為到，距離之和為的所有點的集合為橢圓C，
所以滿足題意的點為直線l與橢圓C的公共點，
聯立④⑨得：，得
，即
或
，
所以滿足條件的點的坐標為和．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，則三棱錐P﹣ABC體積的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，矩形ABCD中，
，
，
是AD的中點，將
沿BE翻折，記為
，在翻折過程中，①點
在平面BCDE的射影必在直線AC上；②記
和
與平面BCDE所成的角分別為
，
，則
的最大值為0；③設二面角
的平面角為
，則
.其中正確命題的個數是（ ）
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是一“T”型水渠的平面視圖（俯視圖），水渠的南北方向和東西方向軸截面均為矩形，南北向渠寬為4m，東西向渠寬
m（從拐角處，即圖中
，
處開始）．假定渠內的水面始終保持水平位置（即無高度差）．
（1）在水平面內，過點的一條直線與水渠的內壁交于
，
兩點，且與水渠的一邊的夾角為
，將線段
的長度
表示為
的函數；
（2）若從南面漂來一根長為7m的筆直的竹竿（粗細不計），竹竿始終浮于水平面內，且不發生形變，問：這根竹竿能否從拐角處一直漂向東西向的水渠（不會卡住）？請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知梯形ABCD滿足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D為焦點的雙曲線Γ經過B，C兩點.若CD＝7AB，則雙曲線Γ的離心率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某運輸公司每天至少向某地運送
物質，該公司有8輛載重為
的
型卡車與4輛載重為
的
型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數為型卡車4次，型卡車3次；每輛卡車每天往返的成本為型卡車320元，型卡車504元，你認為該公司怎樣調配車輛，使運費成本最低，最低運費是多少？
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