Question

已知一個幾何體的主視圖與左視圖均為邊長為2的正三角形，其俯視圖是邊長為2的正方形，則此幾何體的內切球的表面積為（　　）

• A、12π
• B、

  25

  3

  π
• C、

  8

  3

  π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：三視圖復原的幾何體是正四棱錐，求出底面面積，正四棱錐的高，可求出體積，利用等體積求出幾何體的內切球的半徑，可得幾何體的內切球的表面積．

解答： 解：據條件可得幾何體為底面邊長為2的正方形，側面是等腰三角形，其底邊上的高也為2的正四棱錐，
其體積V=

1

3

×4×

22-1

=

4 3

3

．
設幾何體的內切球的半徑為r，則

1

3

×(4+4×

1

2

×2×2)r=

4 3

3

，
∴r=

3

3

，
∴幾何體的內切球的表面積為4π×（

3

3

）²=

4

3

π
故選：D．

點評：本題是基礎題，考查幾何體的三視圖，幾何體的體積的求法，準確判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．