Question

【題目】若正數x，y滿足x+3y=5xy，求：
（1）3x+4y的最小值；
（2）求xy的最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）∵正數x，y滿足x+3y=5xy，∴y=＞0，解得．
∴3x+4y=3x+=f（x），
f′（x）=3+=，
∴當x＞1時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；當1＞x＞時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．
∴當x=1時，f（x）取得最小值，f（1）=3+2=5．
∴3x+4y的最小值為1．
（2）∵正數x，y滿足x+3y=5xy，
∴5xy≥2，
解得：xy≥，當且僅當x=3y=時取等號．
∴xy的最小值為．
【解析】（1）法一：由正數x，y滿足x+3y=5xy，可得y=＞0，解得.3x+4y=3x+=f（x），利用導數研究函數的單調性極值與最值即可得出．
（2）正數x，y滿足x+3y=5xy，利用基本不等式的性質即可得出．
【考點精析】通過靈活運用基本不等式，掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：即可以解答此題．