Question

已知直線l垂直平面a，垂足為O，在矩形ABCD中AD=1，AB=2，若點A在l上移動，點B在平面a上移動，則O、D兩點間的最大距離為

 

．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：先將原問題轉化為平面內的最大距離問題解決，以O為原點，OA為y軸，OB為x軸建立直角坐標系，如圖．設∠ABO=θ，D（x，y），D、O兩點間的最大距離表示成2

2

sin（2θ-

π

4

）+3，最后結合三角函數的性質求出其最大值即可．

解答： 解：將原問題轉化為平面內的最大距離問題解決，AD=1，AB=2，
以O為原點，OA為y軸，OB為x軸建立直角坐標系，如圖．
設∠ABO=θ，D（x，y），則有：
x=ADsinθ=sinθ，
y=ABsinθ+ADcosθ
=cosθ+2sinθ，
∴x²+y²=sin²θ+cos²θ+4sinθcosθ+4sin²θ．
=-2cos2θ+2sin2θ+3
=2

2

sin（2θ-

π

4

）+3，
當sin（2θ-

π

4

）=1時，x²+y²最大，為2

2

+3，
則D、O兩點間的最大距離為1+

2

．
故答案為：1+

2

．

點評：本題主要考查了點、線、面間的距離計算，解答關鍵是將空間幾何問題轉化為平面幾何問題解決，利用三角函數的知識求最大值