Question

已知數列{a_n}的前n項的和S_n=（n+1）b_n，其中{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若c_n=

1

an(2bn+5)

，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列的通項公式可得b_n，再利用“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”即可得出a_n；
（2）利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵{b_n}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴Sn=2n2+n-1，
當n=1時，a₁=S₁=2；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²+n-1-[2（n-1）²+（n-1）-1]=4n-1．
∴an=

2(n=1) 4n-1(n≥2)

．
（2）由（1）可得：c1=

1

14

，當n≥2時cn=

1

4

(

1

4n-1

-

1

4n+3

)．

∴Tn= 1 14 + 1 4 ( 1 7 - 1 11 + 1 11 - 1 15 +…+ 1 4n-1 - 1 4n+3 ) = 1 14 + 1 4 ( 1 7 - 1 4n+3 )= 3 28 - 1 4(4n+3)

綜上：Tn=

3

28

-

1

4(4n+3)

(n∈N*)．

點評：本題考查了等差數列的通項公式、利用“當n=1時，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．