Question

ABCD是平行四邊形，P為平面ABCD外一點，PA⊥面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a,AC=a.

（1）求證：平面ABCD⊥平面PAC；

（2）求異面直線PC與BD所成角的余弦值；

（3）設二面角A-PC-B的大小為θ，求tanθ的值.

Answer 1

（1）證明：∵AB=a,AD=2a,AC=a,∴∠BAC=∠ACD=90°.?

?

∵PA⊥面ABCD，PA面PAC，∴面PAC⊥面ABCD.?

（2）解析：建立如圖所示坐標系.

B（a,0,0）,D(-a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,2a)?,=(-2a,a,0),=(0,a,-2a),?

∴cosα=.?

（3）解析：∵∠BAC=90°,?

∴BA⊥AC,PA⊥面ABCD.?

∴PA⊥AB.?

∴AB⊥面PAC.?

作AE⊥PC，連結BE，?

∴∠AEB即為所求角θ.?

∵AP=2a,AC=a,PC=a，?

∴AE=.?

∴tanθ=.