Question

已知f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=2，則f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（　　）

• A．f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）
• B．f[

  n(n+1)

  2

  ]
• C．n（n+1）
• D．n（n+1）f（1）

Answer 1

分析：根據題意，令x=n、y=1，證出f（n+1）-f（n）=2，得{f（n）}構成以2為首項、公差為2的等差數列．由等差數列通項公式算出f（n）=2n，進而得到{f（n）}前n項和等于n（n+1）．由此再將各項和運算結果加以對照，可得本題答案．

解答：解：令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2，
可得{f（n）}構成以f（1）=2為首項，公差為2的等差數列，
∴f（n）=2+（n-1）×2=2n，
因此，f（1）+f（2）+…+f（n）=

n[f(1)+f(n)]

2

=

n(2+2n)

2

=n（n+1）
對于A，由于f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）
=f（1）（1+2+…+n）=2×

n(n+1)

2

=n（n+1），故A正確；
對于B，由于f（n）=2n，所以f[

n(n+1)

2

]=2×

n(n+1)

2

=n（n+1），得B正確；
對于C，與求出的前n項和的通項一模一樣，故C正確．
對于D，由于n（n+1）f（1）=2n（n+1），故D不正確．
故選：D

點評：本題考查了等差數列的通項公式、求和公式的知識，考查了采用賦值法解決抽象函數問題的方法，屬于中檔題．