Question

設(shè)復(fù)數(shù)w=

1

2

+

3

2

i，則z=1+w+w²+…+w⁹⁸的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：由復(fù)數(shù)w=

1

2

+

3

2

i，可得w³ⁿ=1，w³ⁿ⁺¹=

1

2

+

3

2

i，w³ⁿ⁺²=-

1

2

+

3

2

i，其中n∈Z，利用分組求和法，可得答案．

解答： 解：∵復(fù)數(shù)w=

1

2

+

3

2

i，
∴w²=-

1

2

+

3

2

i，
w³=1，
w⁴=

1

2

+

3

2

i，
…
w³ⁿ=1，
w³ⁿ⁺¹=

1

2

+

3

2

i，
w³ⁿ⁺²=-

1

2

+

3

2

i，其中n∈Z，
∴z=1+w+w²+…+w⁹⁸=（1+

1

2

+

3

2

i-

1

2

+

3

2

i）×33=33+33

3

i，
故答案為：33+33

3

i

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算，其中分析出wⁿ的周期性是解答的關(guān)鍵．