Question

【題目】已知函數，其中，且 .

（1）當（ 為自然對數的底）時，討論的單調性；

（2）當 時，若函數存在最大值，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求導可得，分類討論:

①當，在上是減函數；

②當時，在上遞減，在上遞增.

（2）當，.據此可知：

①當時，無極大值，也無最大值；

②當，的極大值為，.其中即，令，結合導函數考查其單調性討論可得的最小值為，此時.

詳解：（1）由題，，

①當，當，在上是減函數；

②當，當，，在上是減函數；

當，，在上是增函數.

即當時，在上個遞減；

當時，在上遞減，在上遞增.

（2）當，，.

①當時，，，則，在上為增函數，無極大值，也無最大值；

②當，設方程的根為，得.

即，

所以在上為增函數，在上為減函數，

則的極大值為，.

令，令，.

.

當時；當時，所以為極小值也是最小值點.

且，即的最小值為，此時.