Question

【題目】如圖，在五面體中，四邊形為矩形， 為等邊三角形，且平面平面， .

（1）證明：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：

(1)取DE中點G，于是AG⊥DE，由面面垂直的性質定理可得AG⊥面CDEF，則AG⊥DC，又CD⊥AD，由線面垂直的判斷定理可得CD⊥面ADE，即面ADE⊥面ABCD．

(2)取AD中點O，以O為坐標原點，OA、OE為x、z軸建系．由題意可得：平面FBC的法向量為，平面BCD的法向量為，則二面角F-BC-D的余弦值為．

試題解析：

（1）證明：取DE中點G，于是AG⊥DE，

又面ADE⊥面CDEF，且面ADE∩面CDEF=DE，所以AG⊥面CDEF，

則AG⊥DC，又CD⊥AD，所以CD⊥面ADE，

即面ADE⊥面ABCD．

（2）解：取AD中點O，于是EO⊥面ABCD，所以，如圖：

以O為坐標原點，OA、OE為x、z軸建系．設OA長度為1，

于是點坐標為： ，

因為CD∥AB，所以AB∥平面CDEF，又平面ABEF∩平面CDEF=EF，則EF∥AB；

所以設，所以點．

那么，由于BF⊥DF，

所以，解得．于是，

進而面FBC的法向量為，

又面BCD的法向量為，記二面角F-BC-D為，所以

，又因為是銳角，所以二面角F-BC-D的余弦值為．