Question

設關于x的方程cos2x+

3

sin2x=k+1在[0，

π

2

]內有兩不同根m、n，求m+n的值及k的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：構造函數f（x）=cos2x+

3

sin2x，x∈[0，

π

2

]與g（x）=k+1，則問題轉化為f（x）=2sin（2x+

π

6

）的圖象與函數g（x）=k+1的圖象有兩個交點，利用正弦函數的單調性與最值，即可求得m+n的值及k的取值范圍．

解答： 解：令f（x）=cos2x+

3

sin2x=2（

1

2

cosx+

3

2

sin2x）=2sin（2x+

π

6

），g（x）=k+1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
要使關于x的方程cos2x+

3

sin2x=k+1在[0，

π

2

]內有兩不同根m、n，就是函數f（x）=2sin（2x+

π

6

）的圖象與函數g（x）=k+1的圖象有兩個交點，
當

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

且2x+

π

6

≠

π

2

，即0≤x＜

π

2

或

π

2

＜x≤

π

3

，1≤2sin（2x+

π

6

）＜2時，兩曲線有兩個交點，
又兩個交點的橫坐標分別為m、n，這兩個交點關于f（x）=2sin（2x+

π

6

）的對稱軸x=

π

6

對稱，
∴m+n=

π

3

．
由1≤2sin（2x+

π

6

）＜2，知1≤k+1＜2，
解得：0≤k＜1．

點評：本題考查兩角和和與差的正弦，著重考查輔助角公式的應用及正弦函數在閉區間上的單調性與最值，考查轉化思想．