Question

有如下四個命題：
①函數f（x）=|x-1|在x=1處連續且f′（1）=1；
②f（x）在x₀處可導g（x）在x₀處不可導，則f（x）•g（x）在x₀處一定不可導；
③函數f（x）在（-∞，+∞）內可導且f（x）為奇函數，則f′（x）為偶函數；
④函數f（x）在x₀取得極值，則f′（x₀）=0．
其中正確的命題序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,簡易邏輯

分析：由函數f（x）=|x-1|在x=1處的左右導數不等判斷①；舉例說明②錯誤；由導數的概念結合函數的奇偶性判斷③；舉例說明④錯誤．

解答： 解：對于①，函數f（x）=|x-1|在x=1處連續但不可導，原因是函數的左導數為-1，右導數為1，命題①錯誤；
對于②，f（x）在x₀處可導，g（x）在x₀處不可導，則f（x）•g（x）在x₀處一定不可導，錯誤．
如f（x）=x，g（x）=|x|，f（x）在0處可導，g（x）在0處不可導，但f（x）•g（x）=

x2，x＞0 -x2，x＜0

在x=0處的導數為0；
③函數f（x）在（-∞，+∞）內可導且f（x）為奇函數，則f′（x）為偶函數，正確．
事實上，f′(x)=

lim

h→0

f(x+h)-f(x)

h

，f′(-x)=

lim

h→0

f(-x+h)-f(-x)

h

，
f（x）為奇函數，則f（-x+h）=-f（x-h），f（-x）=-f（x），
∴f′(-x)=

lim

h→0

f(-x+h)-f(-x)

h

=

lim

h→0

-f(x-h)+f(x)

h

=

lim

h→0

f(x-h)-f(x)

-h

=f′（x）．
∴f′（x）為偶函數；
對于④，函數f（x）在x₀取得極值，則f′（x₀）=0錯誤，如f（x）=|x|在x=0處取得極值，但函數在x=0處不可導．
故答案為：③．

點評：本題考查了命題的真假判斷與應用，考查了函數可導與連續的關系，考查了導函數的概念，是中檔題．