Question

過拋物線y²=2px的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，求|AB|+|CD|的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設直線AB的方程為：y=k(x-

p

2

)，則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-

p

2

)．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），與拋物線的方程聯立可得k2x2-(pk2+2p)x+

k2p2

4

=0，可得x₁+x₂=p+

2p

k2

，同理可得x3+x4=p+2pk2．|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p，利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：設直線AB的方程為：y=k(x-

p

2

)，則直線CD的方程為y=-

1

k

(x-

p

2

)．
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
聯立

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，化為k2x2-(pk2+2p)x+

k2p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

pk2+2p

k2

=p+

2p

k2

，
同理可得x3+x4=p+2pk2．
∴|AB|+|CD|=x₁+x₂+x₃+x₄+2p=p+

2p

k2

+p+2pk²+2p=2p(k2+

1

k2

)+4p≥2p•2

k2• 1 k2

+4p=8p，
當且僅當k=±1時取等號．
∴|AB|+|CD|的最小值為8p．

點評：本題考查了焦點弦長公式、相互垂直的直線斜率之間的關系、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．