Question

設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x².
(1)求證：f(x)是周期函數；
(2)當x∈[2，4]時，求f(x)的解析式；
(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)的值．

Answer 1

（1）見解析（2）f(x)＝x²－6x＋8，x∈[2，4]．（3）1

(1)證明：因為f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是周期為4的周期函數．
(2)解：因為x∈[2，4]，
所以－x∈[－4，－2]，4－x∈[0，2]，
所以f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)²＝－x²＋6x－8.
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，所以－f(x)＝－x²＋6x－8，即f(x)＝x²－6x＋8，x∈[2，4]．
(3)解：因為f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1，
又f(x)是周期為4的周期函數，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝0，
所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2014)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.