Question

【題目】已知函數f(x)＝ln x－a(x－1)，g(x)＝ex.

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)若函數h(x)＝f(x＋1)＋g(x)，當x>0時，h(x)>1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）(－∞，2]

【解析】分析：（1）由函數，求得，分類討論即可求解函數的單調區間；

（2）因為，所以，令，求得，得到單調性和最值，即可求解．

詳解：(1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)..

①若a≤0，對任意的x>0，均有f′(x)>0，所以f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)，無單調遞減區間；.

②若a>0，當x∈時，f′(x)>0，當x∈時，f′(x)<0，所以f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為...

綜上，當a≤0時，f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)，無單調遞減區

當a>0時，f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為

(2)因為h(x)＝f(x＋1)＋g(x)＝ln (x＋1)－ax＋ex，所以

h′(x)＝ex＋－a..

令φ(x)＝h′(x)，因為x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝ex－＝＞0.

所以h′(x)在(0，＋∞)上單調遞增，h′(x)>h′(0)＝2－a，

①當a≤2時，h′(x)>0，所以h(x)在(0，＋∞)上單調遞增，h(x)>h(0)＝1恒成立，符合題意；.

②當a>2時，h′(0)＝2－a<0，h′(x)>h′(0)，所以存在x0∈(0，＋∞)，使得h′(x0)＝0..

所以h(x)在(x0，＋∞)上單調遞增，在(0，x0)上單調遞減，又h(x0)<h(0)＝1，所以h(x)＞1不恒成立，不符合題意．

綜上，實數a的取值范圍是(－∞，2]．