Question

【題目】某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

最高氣溫	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天數	2	16	36	25	7	4

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率．
（Ⅰ）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；
（Ⅱ）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數學期望達到最大值？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知X的可能取值為200，300，500，
P（X=200）= =0.2，
P（X=300）= ，
P（X=500）= =0.4，
∴X的分布列為：

X	200	300	500
P	0.2	0.4	0.4

（Ⅱ）當n≤200時，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，
當200＜n≤300時，
若x=200，則Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，
若x≥300，則Y=n（6﹣4）=2n，
∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，
∴EY≤1.2×300+160=520，
當300＜n≤500時，若x=200，則Y=800﹣2n，
若x=300，則Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，
∴當n=300時，（EY）max=640﹣0.4×300=520，
若x=500，則Y=2n，
∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，
當n≥500時，Y= ，
EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，
∴EY≤1440﹣2×500=440．
綜上，當n=300時，EY最大值為520元．
【解析】（Ⅰ）由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）當n≤200時，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；當200＜n≤300時，EY≤1.2×300+160=520；當300＜n≤500時，n=300時，（EY）max=640﹣0.4×300=520；當n≥500時，EY≤1440﹣2×500=440．從而得到當n=300時，EY最大值為520元．
【考點精析】認真審題，首先需要了解離散型隨機變量及其分布列(在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列)．