Question

若x，y滿足約束條件

x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2

（1）求目標函數z=

1

2

x-y+

1

2

的最值；
（2）若目標函數z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）作出可行域，利用目標函數的幾何意義即可得到結論．
（2）若目標函數z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，判斷目標函數的斜率關系，即可得到結論．

解答： 解：（1）作出可行域如圖，則直線x+y=1，x-y=-1，2x-y=2的交點分別為A（3，4），B（0，1），C（1，0），
平移

1

2

x-y+

1

2

=0，由圖象可知過A時，z取得最小值z=

1

2

×3-4+

1

2

=-2，
過C點取得最大值z=

1

2

+

1

2

=1．
∴z的最大值為1，最小值為-2．
（2）若目標函數z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，
則由圖象可知-1＜-

a

2

＜2，
解得-4＜a＜2，
即a的取值范圍（-4，2）．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，根據目標函數的幾何意義是解決本題的關鍵．注意使用數形結合．