Question

已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R）
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間
（Ⅱ）已知g（x）=4^x-3•2^x+1，若對任意的m∈（0，+∞），存在n∈[0，1]，使得f（m）＜g（n），求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）先求出函數導數，通過討論①當a≥0時，②當a＜0時的情況，從而求出函數的單調區間；
（Ⅱ）分別求出f（x），g（x）的最大值，問題轉化為f（x）_max＜g（x）_max，即-1+ln（-

1

a

）＜-1，從而求出a的范圍．

解答： 解（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，x∈（0，+∞），∴f′（x）=a+

1

x

，
①當a≥0時，f′（x）=a+

1

x

＞0∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
②當a＜0時，f′（x）=a+

1

x

＞0⇒

1

x

＞-a⇒x＜-

1

a

，
∴f（x）在（0，-

1

a

）上單調遞增，
綜上：當a≥0時，f（x）的增區間是（0，+∞），當a＜0時，f（x）的增區間是（0，-

1

a

）；
（Ⅱ）g（x）=4^x-3•2^x+1，x∈[0，1]，令2^x=t∈[1，2]，
y=t²-3t+1，t∈[1，2]，當t=1或2時，y_max=-1，
由（Ⅰ）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，無最值，不可能滿足f（m）＜g（n），
當a＜0時，在（0，-

1

a

）上遞增，在（-

1

a

，+∞）上遞減；
∴f（x）_max=f（-

1

a

）=-1+ln（-

1

a

），
∵對任意的m∈（0，+∞），存在n∈[0，1]，使得f（m）＜g（n），
∴f（x）_max＜g（x）_max，∴-1+ln（-

1

a

）＜-1，
∴ln（-

1

a

）＜0，
∴-

1

a

＜1，∴a＜-1．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查了導數的應用，考查了轉化思想，是一道中檔題．