Question

在平面直角坐標系xoy中，點P（1，2cos²θ）在角α的終邊上，點Q（sin²θ，-1）在角β的終邊上，且滿足

OP

•

OQ

=-1
（1）求點P，Q的坐標；
（2）求cos（α-2β）的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,兩角和與差的余弦函數

專題：三角函數的求值,平面向量及應用

分析：（1）利用向量的數量積和倍角公式即可求出；
（2）利用倍角公式、三角函數的定義及兩角差的余弦公式即可求出．

解答： 解：（1）∵點P（1，2cos²θ），點Q（sin²θ，-1），
∴

OP

=（1，2cos²θ），

OQ

=（sin²θ，-1），
∵

OP

•

OQ

=-1
∴sin²θ-2cos²θ=-1．
∴

1

2

（1-cos2θ）-（1+cos2θ）=-1，
解得cos2θ=

1

3

，
∵2cos²θ=1+cos2θ=

4

3

，
∴P（1，

4

3

），
∵sin²θ=

1

2

（1-cos2θ）=

1

3

，
∴Q（

1

3

，-1）
（2）∵|OP|=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，|0Q|=

( 1 3 )2+1

=

10

3

，
∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，sinβ=-

3 10

10

，cosβ=

10

10

，
∴sin2β=2sinβcosβ=-

3

5

，cos2β=2cos²β-1=-

4

5

∴cos（α-2β）=cosαcos2β+sinαsin2β=

3

5

×(-

4

5

)+

4

5

×(-

3

5

)=-

24

25

點評：本題考查了向量的數量積、三角函數的定義及兩角差的余弦公式、倍角公式，屬于中檔題