Question

已知函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R），討論該函數的單調性．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：先求定義域，再求導并化簡f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

-(x-1)(ax+a-1)

x2

，從而分類討論以確定導數的正負，從而確定函數的單調性．

解答： 解：∵f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x+a-1

x2

=

-(x-1)(ax+a-1)

x2

，
①若a=0，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
②若a＜0，當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1）上是減函數，在（1，+∞）上是增函數；
③若a＞0，f′（x）=

-a(x-1)(x+1- 1 a )

x2

；
（1）當0＜a＜

1

2

時，1-

1

a

＜-1；
故當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，

1

a

-1）時，f′（x）＞0，當x∈（

1

a

-1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1），（

1

a

-1，+∞）上是減函數，在（1，

1

a

-1）上是增函數；
（2）當a=

1

2

時，f′（x）≤0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是減函數；
（3）當

1

2

＜a＜1時，1-

1

a

＞-1，
故當x∈（0，

1

a

-1）時，f′（x）＜0，當x∈（

1

a

-1，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，

1

a

-1），（1，+∞）上是減函數，在（

1

a

-1，1）上是增函數；
（4）當a≥1時，1-

1

a

≥0，
故當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．

點評：本題考查了導數的綜合應用及分類討論的思想應用，分類討論復雜，屬于難題．