Question

已知函數f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx．
（1）若a=0，討論函數f（x）的單調性；
（2）求函數f（x）的極值點．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求出a=0時的函數的導數，求出單調區間，注意定義域；
（2）求出函數的導數，令g（x）=4x²+2ax-1，通過求根公式，求出兩根，再令導數大于0，得增區間，令導數小于0，得減區間，進而得到極值點．

解答： 解：（1）a=0時，f（x）=x²-

1

2

lnx，（x＞0），
f′（x）=2x-

1

2x

=

(2x-1)(2x+1)

2x

，
令f′（x）＞0，得x＞

1

2

，令f′（x）＜0，得0＜x＜

1

2

，
即有f（x）的增區間為（

1

2

，+∞），減區間為（0，

1

2

）；
（2）函數f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx的導數為f′（x）=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

，（x＞0），令g（x）=4x²+2ax-1，
由于判別式△=4a²+16＞0，則g（x）=0有兩個不等的實數根，且為一正一負，
令x₁=

-a+ a2+4

4

，x₂=

-a- a2+4

4

，可得x₁＞0，x₂＜0，
令f′（x）＞0，解得，x＞x₁，令f′（x）＜0，解得，0＜x＜x₁，
則f（x）在x=x₁=

-a+ a2+4

4

處導數左負右正，取得極小值，無極大值點．

點評：本題考查導數的運用：求單調區間和求極值，考查運算能力，屬于中檔題．