Question

【題目】若數(shù)列對(duì)任意的，都有，且，則稱(chēng)數(shù)列為“k級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列滿足且，試判斷數(shù)列是否為“2級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

（2）已知正數(shù)數(shù)列為“k級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”且，若，求數(shù)列的前n項(xiàng)積；

（3）設(shè)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，令，在（2）的條件下，記數(shù)列的通項(xiàng)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列是“2級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”，見(jiàn)解析（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）數(shù)列是“2級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”，下面給出證明：，可得

，即可證明.

（2）正數(shù)數(shù)列為“k級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”且，.又，

利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得數(shù)列的前n項(xiàng)積.

（3），是方程的兩個(gè)實(shí)根，可得.在（2）的條件下，記數(shù)列的通項(xiàng).

（1）解：數(shù)列是“2級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”，下面給出證明：

，

，

數(shù)列是“2級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”.

（2）解：正數(shù)數(shù)列為“k級(jí)創(chuàng)新數(shù)列”且，

.

.

又，

數(shù)列的前n項(xiàng)積

.

（3）證明：，是方程的兩個(gè)實(shí)根，

.

在（2）的條件下，記數(shù)列的通項(xiàng)

.

.

.

.