Question

【題目】設函數f（x）=ax2－lnx。

（Ⅰ）當a=時，判斷f（x）的單調性；（Ⅱ）設f（x）≤x3+4x－lnx，在定義域內恒成立，求a的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）f（x）在0＜x≤1上，函數為減函數；在x＞1上，函數為增函數；（2）a≤4.

【解析】試題分析：（1）將條件帶入求導，得=x－，進而根據導數的正負可得函數的單調性；

（2）令H（x）= f（x）－(x3+4x－lnx)= －x3+x2－4x=x(－x2+ax－4)所以要使f（x）≤x3+4x－lnx，在定義域內恒成立，只需H（x）≤0，在定義域內恒成立，即x(－x2+ax－4) ≤0在x＞0上恒成立，進而轉化為－x2+ax－4≤0在x＞0上恒成立，進而可得解.

試題解析：

（1）、當a=時，f（x）=x2－lnx， =x－

令導函數等于0，解得x=1或x=－1（舍），

所以當＞0時，x＞1，當＜0，0＜x＜1

所以f（x）在0＜x≤1上，函數為減函數；在x＞1上，函數為增函數。

（2）令H（x）= f（x）－(x3+4x－lnx)= －x3+x2－4x=x(－x2+ax－4)

所以要使f（x）≤x3+4x－lnx，在定義域內恒成立，只需H（x）≤0，在定義域內恒成立，

即x(－x2+ax－4) ≤0在x＞0上恒成立。

由于x＞0，所以只要－x2+ax－4≤0在x＞0上恒成立

所以應滿足△≤0或者，所以a≤4.