Question

【題目】(2015·四川）已知函數f(x)=2x ， g(x)=x2+ax（其中aR）.對于不相等的實數x1, x2 ， 設m=，n=.
現有如下命題：
（1）對于任意不相等的實數x1, x2 ， 都有m>0；
（2）對于任意的a及任意不相等的實數x1, x2 ， ，都有n>0；
（3）對于任意的a ， 存在不相等的實數x1, x2 ， 使得m=n；
（4）對于任意的a ， 存在不相等的實數x1, x2 ， 使得m=-n.
其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）.

Answer 1

【答案】①④
【解析】設A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), C(x1, g(x1)), D(x2, g(x2)), 對(1), 從y=2x的圖像可看出， m=KAB>0,恒成立， 故正確。對（2), 直線CD的斜率可為負， 即n<0， 故不正確。對（3），由m=n得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)， 即f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 令h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax. 則h'(x)=2xln2-2x-a. 由 h'(x)=0得， 2xln2=2x+a， 做出y=2xln2, y=2x+a的圖像可知， 方程2xln2=2x+a不一定有解， 所以h(x)不一定有極值點， 即對任意的a，不一定存在不相等的實數x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即不一定存在不相等得實數x1, x2使得m=n，故不正確。
對（4），由m=-n得f(x1)-g(x1)=f(x2))-g(x2)， 即f(x1)+g(x1)=f(x2))+g(x2)， 令h(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax. 則h'(x)=2xln2+2x+a.
h'(x)=0得， 2xln2=-2x-a， 做出y=2xln2, y=-2x-a的圖像可知， 方程2xln2=-2x-a一定有解， 所以h(x)一定有極值點， 即對任意的a，一定存在不相等的實數x1, x2，使得h(x1)=h(x2)，即一定存在不相等得實數x1, x2使得m=n，故不正確。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用導數的幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即．