Question

設函數f（x）=a-

2

2x+1

（1）判斷并說明函數的單調性；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數及此時f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）運用函數的單調性的定義，注意作差、變形、定符號和下結論，即可判斷；
（2）由函數的奇偶性的定義，即可得到a，再運用變量分離，結合指數函數的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：（1）任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，又∵2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴不論a為何值，f（x）總為增函數；
（2）∵f（x）為奇函數，∴f（-x）=-f（x），a-

2

2-x+1

=a+

2

2x+1

，
解得 a=1，故f（x）=1+

-2

2x+1

在其定義域內是增函數，
當x趨向-∞時，2^x+1趨向1，f（x）趨向-1，當x趨向+∞時，2^x+1趨向+∞，f（x）趨向1，
∴f（x）的值域（-1，1）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷，考查函數的值域的求法，考查運算能力，屬于中檔題．