Question

若無窮等比數列{a_n}滿足：

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=4，則首項a₁的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：數列的極限

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：依題意知|q|＜1且q≠0，由

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

a1

1-q

=4⇒q=1-

a1

4

∈（-1，1），從而可求得a₁的取值范圍．

解答： 解：依題意知|q|＜1且q≠0，
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

，
∴

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

lim

n→∞

a1(1-qn)

1-q

=

a1

1-q

，
∴

a1

1-q

=4，
∴q=1-

a1

4

∈（-1，1），q≠0，
即-1＜

a1

4

-1＜1且

a1

4

-1≠0，
解得0＜a₁＜4或4＜a₁＜8．
故答案為：（0，4）∪（4，8）

點評：本題考查數列的求和與數列的極限，求得q=1-

a1

4

是關鍵，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．