Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

an+3

2an-4

，求通項a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：令x=

x+3

2x-4

，解得：x=-

1

2

，或x=3，則a_n+1-3=

an+3

2an-4

-3=

-5an+15

2an-4

，a_n+1+

1

2

=

an+3

2an-4

+

1

2

=

2an+1

2an-4

，兩式相除，得：

an+1-3

an+1+ 1 2

=

-5an+15

2an+1

=-

5

2

•

an-3

an+ 1 2

，即數(shù)列{

an-3

an+ 1 2

}為以-

4

3

為首項，以-

5

2

為公比的等比數(shù)列，進而得到數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：令x=

x+3

2x-4

，
解得：x=-

1

2

，或x=3
∴a_n+1-3=

an+3

2an-4

-3=

-5an+15

2an-4

，
a_n+1+

1

2

=

an+3

2an-4

+

1

2

=

2an+1

2an-4

，
∴兩式相除，得：

an+1-3

an+1+ 1 2

=

-5an+15

2an+1

=-

5

2

•

an-3

an+ 1 2

，
∵a₁=1，

a1-3

a1+ 1 2

=-

4

3

，
∴數(shù)列{

an-3

an+ 1 2

}為以-

4

3

為首項，以-

5

2

為公比的等比數(shù)列，
∴

an-3

an+ 1 2

=-

4

3

•(-

5

2

)n-1，
∴解得：a_n=

3- 2 3 •(- 5 2 )n-1

1+ 4 3 •(- 5 2 )n-1

點評：本題考查的知識點是數(shù)列遞推式，解該類數(shù)列題目的方法是不動點法，進而構(gòu)造方程求出不動點是解答的關(guān)鍵．