Question

設函數f（x）=x³-2ex²+mx-lnx，記g（x）=

f(x)

x

，若函數g（x）至少存在一個零點，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，e²+

  1

  e

  ]
• B、（0，e²+

  1

  e

  ]
• C、（e²+

  1

  e

  ，+∞]
• D、（-e²-

  1

  e

  ，e²+

  1

  e

  ]

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：由題意先求函數的定義域，再化簡為方程x³-2ex²+mx-lnx=0有解，則m=

-x3+2ex2+lnx

x

=-x²+2ex+

lnx

x

，求導求函數m=-x²+2ex+

lnx

x

的值域，從而得m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x³-2ex²+mx-lnx的定義域為（0，+∞），
又∵g（x）=

f(x)

x

，
∴函數g（x）至少存在一個零點可化為
函數f（x）=x³-2ex²+mx-lnx至少有一個零點；
即方程x³-2ex²+mx-lnx=0有解，
則m=

-x3+2ex2+lnx

x

=-x²+2ex+

lnx

x

，
m′=-2x+2e+

1-lnx

x2

=-2（x-e）+

1-lnx

x2

；
故當x∈（0，e）時，m′＞0，
當x∈（e，+∞）時，m′＜0；
則m=-x²+2ex+

lnx

x

在（0，e）上單調遞增，
在（e，+∞）上單調遞減，
故m≤-e²+2•e•e+

1

e

=e²+

1

e

；
又∵當x₊→0時，m=-x²+2ex+

lnx

x

→-∞，
故m≤e²+

1

e

；
故選A．

點評：本題考查了導數的綜合應用及函數的零點與方程的關系，屬于中檔題．