Question

直線l：y=m（m為實常數）與曲線E：y=|lnx|的兩個交點A、B的橫坐標分別為x₁、x₂，且x₁＜x₂，曲線E在點A、B處的切線PA、PB與y軸分別交于點M、N，有下面4個結論：
①|

MN

|=2；
②三角形PAB可能為等腰三角形；
③若直線l與y軸的交點為Q，則|PQ|=1；
④是函數g（x）=x²+lnx的零點時，|

AO

|（O為坐標原點）取得最小值．
其中正確結論有

 

．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：作圖題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：①畫出y=m和y=|lnx|的圖象，求出切線的斜率，求出交點的坐標M，N，即可得到MN的長，即可判斷①；
②通過圖象觀察分析，兩切線垂直，即可判斷②；
③求出P的坐標，再求PQ長，即可判斷③；
④由零點的定義，求出AO的長，運用函數的性質，即可判斷④．

解答： 解：對于①，作出函數的圖象，由|lnx₁|=|lnx₂|，可得，-lnx₁=lnx₂，
所以x₁x₂=1，且0＜x₁＜1，x₂＞1，故A（x₁，-lnx₁）B（x₂，lnx₂），
在A點處的切線斜率為-

1

x1

，在B點處的切線斜率為：

1

x2

，
則設M（0，s），N（0，n），
則有

s+lnx1

-x1

=-

1

x1

，解得，s=1-lnx₁，
由

n-lnx2

-x2

=

1

x2

，解得，n=lnx₂-1，
則有|MN|=1-lnx₁-（lnx₂-1）=2-ln（x₁x₂）=2，故①正確；
對于②，若△PAB為等腰三角形，即PA=PB，或PA=AB，或PB=AB，
若PA=PB，則P在AB的中垂線上，不可能；若PA=AB，易得P的橫坐標小于1，不成立；
若PB=AB，則由于-

1

x1

•

1

x2

=-1，即有PA⊥BP，則不成立，故②錯誤；
對于③，Q（0，m），由y+lnx₁=1-

1

x1

x和y-lnx₂=

x

x2

-1，x₁x₂=1，
解得交點P（

2x1

1+x12

，1-lnx₁-

2

1+x12

），由于m=lnx₂=-lnx₁，
則有|PQ|=

( 2x1 1+x12 )2+( x12-1 1+x12 )2

=1．故③正確；
對于④，當x₁是函數g（x）=x²+lnx的零點時，即有x₁²+lnx₁=0，
|

AO

|=

x12+(lnx1)2

=

x14+x12

，由于0＜x₁＜1，則取不到最小值，故④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題考查導數的幾何意義，著重考查曲線在該點處的切線的斜率，兩點的距離和點到直線的距離公式及函數的最值的求法，考查轉化思想與分析運算、判斷求解能力，屬于難題．