Question

【題目】a，b為正數，給出下列命題：
①若a2﹣b2=1，則a﹣b＜1；
②若 ﹣ =1，則a﹣b＜1；
③ea﹣eb=1，則a﹣b＜1；
④若lna﹣lnb=1，則a﹣b＜1．
期中真命題的有 ．

Answer 1

【答案】①③
【解析】解：①中，a，b中至少有一個大于等于1，則a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，
所以a﹣b＜1，故①正確．
②中 ﹣ = =1，只需a﹣b=ab即可，
取a=2，b= 滿足上式但a﹣b= ＞1，故②錯；
③構造函數y=x﹣ex ， x＞0，y′=1﹣ex＜0，函數單調遞減，
∵ea﹣eb=1，∴a＞b，
∴a﹣ea＜b﹣eb ，
∴a﹣b＜ea﹣eb=1，
故③正確；
④若lna﹣lnb=1，則a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正確．
故答案為：①③．
不正確的結論，列舉反例，正確的結論，進行嚴密的證明，即可得出結論．