Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

（a+1）x²+ax．
（1）求f（x）的單調區間．
（2）方程f（x）=0僅有一個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點

專題：導數的綜合應用

分析：（1）通過討論a的范圍，從而得到函數的單調區間；（2）通過討論a＞1，a＜1，根據極小值大于0，從而得到a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
當a＞1時，由f′（x）＞0得x＜1或x＞a，
∴x∈（-∞，1）和（a，+∞）時，f（x）單調遞增，x∈（1，a）時，f（x）單調遞減；
當a＜1時，由f′（x）＞0，得x＜a或x＞1，
∴x∈（-∞，a）和（1，+∞）時，f（x）單調遞增，x∈（a，1）時，f（x）單調遞減；
（2）由（1）知x=1和x=a是f（x）得極值點，
a＞1時，f（1）是極大值，f（a）是極小值；
只需f（a）＞0，解得：a＜1，不合題意，
a＜1時，f（a）是極大值，f（1）是極小值，
只需f（1）＞0，解得：

1

6

＜a＜1，
故a的范圍是：（

1

6

，1）．

點評：本題考查了函數的單調性，考查了導數的應用，考查了分類討論思想，是一道中檔題．