Question

【題目】如果函數在其定義域內存在實數，使得成立，則稱函數為“可拆分函數”.

（1）試判斷函數是否為“可拆分函數”？并說明你的理由；

（2）證明：函數為“可拆分函數”；

（3）設函數為“可拆分函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 不是“可分拆函數”(2)見解析（3）

【解析】試題分析: （1）按照“可分拆函數”的概念，只需方程有根即可，據此判斷；
（2）本問利用零點定理即可判斷，即判斷端點處的函數值異號即可證明結論；
（3）若函數在（0，+∞）上為可分拆函數，只需方程在該區間上有實根，然后借助于換元的方法，將，然后分離參數方法，即可求出的取值范圍．

試題解析：

（1）假設是“可分拆函數”，則存在，使得

即 ，而此方程的判別式 ，方程無實數解，

所以，不是“可分拆函數”．

（2）令，

則，

又 故，

所以在上有實數解，也即存在實數，使得

成立，

所以 是“可分拆函數”．

（3）因為函數為“可分拆函數”，

所以存在實數，使得=+，

=且 ，所以 ，

,則 ,所以 ，

由得 ，即的取值范圍是 ．