Question

如圖①，有一個長方形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液，現將此容器傾斜一定角度α（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①，②均為容器的縱截面）．
（1）當α=30°時，通過計算說明此溶液是否會溢出；
（2）現需要倒出不少于3000cm³的溶液，當α等于60°時，能實現要求嗎？通過計算說明理由．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）當α=30°時，過C作CF∥BP，交AD所在直線于F，則點F在線段AD上，AF=30-

20 3

3

，由此能求出當α=30°時，溶液不會溢出．
（2）當α=60°時，過C作CF∥BP，交AB所在直線于F，則點F在線段AB上，溶液縱截面為Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量為（8000-3000

3

）＜3000cm³，不能實現要求．

解答： 解：（1）當α=30°時，如圖a，過C作CF∥BP，交AD所在直線于F，
在Rt△CDF中，∠FCD=30°，CD=20cm，DF=

20 3

3

cm＜30cm，
∴點F在線段AD上，AF=30-

20 3

3

，
此時容器內能容納的溶液量為：
S_梯形ABCF•20=

(AF+BC)•AB

2

•20
=（30-

20 3

3

+30）•20•10
=4000（3-

3

3

）（cm³）
而容器中原有溶液量為20×20×20=8000（cm³）
∵4000（3-

3

3

）＞8000，
∴當α=30°時，溶液不會溢出．
（2）如圖b，當α=60°時，
過C作CF∥BP，交AB所在直線于F，
在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10

3

＜20cm，
∴點F在線段AB上，故溶液縱截面為Rt△CBF，
∵S_△BPC=

1

2

×BC×BF=150

3

cm²，
容器內溶液量為150

3

×20=3000

3

cm³，
倒出的溶液量為（8000-3000

3

）＜3000cm³，
∴不能實現要求．

點評：本題考查棱柱的體積在生產生活中的具體應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．