Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC中，CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓O交BC于點(diǎn)N．若AC=

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AB，求證：BN=2AM．

Answer 1

分析：連接MN，AN，結(jié)合圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可證得△BMN∽△BCA，進(jìn)而根據(jù)已知中 AC=

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2

AB，及相似三角形的性質(zhì)可得MN=

1

2

BN，進(jìn)而根據(jù)圓周角定理，及CM是∠ACB的平分線，證得答案．

解答：證明：連接MN，AN
由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可得：
∠BNM=∠BAC，∠BMN=∠BCA
∴△BMN∽△BCA
∴BA：AC=BN：MN
又∵AC=

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2

AB
∴MN=

1

2

BN
∵∠MNA=∠MCA，∠MAN=∠MCN，CM是∠ACB的平分線，
∴∠MNA=∠MAN
∴MN=MA
∴AM=

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2

BN
∴BN=2AM

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理，其中判斷出△BMN∽△BCA是解答本題的關(guān)鍵．