Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，a₁=2且a₁，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂a_n，求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由于a₁=2且a₁，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．可得2（a₃+1）=a₁+a₄，即可得出2（2q²+1）=2+2q³，解得q．
（2）b_n=log₂a_n=n，可得

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=2且a₁，a₃+1，a₄成等差數(shù)列．
∴2（a₃+1）=a₁+a₄，
∴2（2q²+1）=2+2q³，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n，

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項和S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．