Question

已知多項式f(n)＝n⁵＋n⁴＋n³－n.
(1)求f(－1)及f(2)的值；
(2)試探求對一切整數n，f(n)是否一定是整數？并證明你的結論．

Answer 1

（1）0，17（2）見解析

(1)f(－1)＝0，f(2)＝17
(2)先用數學歸納法證明，對一切正整數n，f(n)是整數．
①當n＝1時，f(1)＝1，結論成立．
②假設當n＝k(k≥1，k∈N)時，結論成立，即f(k)＝k⁵＋k⁴＋k³－k是整數，則當n＝k＋1時，f(k＋1)＝(k＋1)⁵＋(k＋1)⁴＋(k＋1)³－(k＋1)
＝＋
＋－(k＋1)＝f(k)＋k⁴＋4k³＋6k²＋4k＋1.
根據假設f(k)是整數，而k⁴＋4k³＋6k²＋4k＋1顯然是整數．
∴f(k＋1)是整數，從而當n＝k＋1時，結論也成立．
由①、②可知對一切正整數n，f(n)是整數．
(Ⅰ)當n＝0時，f(0)＝0是整數
(Ⅱ)當n為負整數時，令n＝－m，則m是正整數，由(Ⅰ)知f(m)是整數，
所以f(n)＝f(－m)＝(－m)⁵＋(－m)⁴＋(－m)³－(－m)
＝－m⁵＋m⁴－m³＋m＝－f(m)＋m⁴是整數．
綜上，對一切整數n，f(n)一定是整數．