Question

對于函數f（x），我們把使得f（x）=x成立的x成為函數f（x）的不動點．把使得f（f（x））=x成立的x成為函數的f（x）的穩定點，函數f（x）的不動點和穩定點構成結合分別記為A和B．即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}，
（1）請證明：A⊆B；
（2）f（x）=x²-a （a∈R，x∈R），且A=B≠∅，求實數a的取值范圍；若f（x）是R上的單調增函數，x₀是函數的穩定點，問x₀是函數的不動點嗎？若是，請證明的你的結論，若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用,集合的表示法

專題：集合

分析：（1）A可能為∅，滿足A⊆B⊆；而A≠∅時，容易得出：若x∈A，能得到x∈B，所以便有A⊆B；
（2）先由A≠∅，得到a≥-

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，而根據A⊆B則可將方程（x²-a）²-a=x變成（x²-x-a）（x²+x-a+1）=0．因為A=B，所以對于方程x²+x-a+1=0要么無實根，要么實根和方程x²-x-a=0的實根相同，根據這點即可求得a的取值范圍；
根據穩定點的定義，f（f（x₀））=x₀，然后根據f（x）在R上是增函數通過說明f（x₀）＞x₀和f（x₀）＜x₀都不存在，從而得到f（x₀）=x₀，所以得出x₀是f（x）的不動點．

解答： 解：（1）證明：①若A=∅，則A⊆B顯然成立；
②若A≠∅，對任意的x∈A，f（x）=x；
∴f（f（x））=f（x）=x；
∴x∈B；
∴A⊆B；
綜上得A⊆B；
（2）∵A≠∅；
∴方程x²-a=x有實根；
∴△=1+4a≥0，即a≥-

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；
又A⊆B，∴（x²-a）²-a=x；
即x⁴-2ax²-x+a²-a=0的左邊有因式x²-x-a；
∴（x²-x-a）（x²+x-a+1）=0；
又A=B；
∴x²+x-a+1=0無實數根，或實數根是方程x²-x-a=0的根；
∴①若x²+x-a+1=0無實數根；
△=1-4（-a+1）＜0；
∴a＜

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；
②若x²+x-a+1=0有實根且實根是方程x²-x-a=0的根；
由方程x²-x-a=0得，x²-a=x帶入x²+x-a+1=0有：2x+1=0；
∴x=-

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帶入x²-x-a=0得，a=

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；
∴a的取值范圍為[-

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，

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]；
由題意x₀是f（x）的穩定點，所以f（f（x₀））=x₀；
①假設f（x₀）＞x₀；
∵f（x）在R上的單調增函數；
∴f（f（x₀））＞f（x₀）；
即x₀＞f（x₀）與f（x₀）＞x₀矛盾，所以不存在這種情況；
②若f（x₀）＜x₀，則：
f（f（x₀））＜f（x₀）；
即x₀＜f（x₀），矛盾，所以這種情況也不存在；
∴f（x₀）=x₀；
∴x₀是f（x）的不動點．

點評：考查空集是任何集合的子集，描述法表示集合，子集的概念，以及一元二次方程存在實根的情況和判別式△的關系，對單調增函數定義的運用，以及對不動點、穩定點定義的理解與運用．