Question

【題目】(2017·合肥市質檢)已知點F為橢圓E： (a>b>0)的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線與橢圓E有且僅有一個交點M.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設直線與y軸交于P，過點P的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線與橢圓有且僅有一個交點可得關于， 的方程組，求出， 的值，即可得到橢圓的方程；（2）由（1）求得坐標，得到的值，當直線與軸垂直時，直接由，求得值；當直線與軸不垂直時，設直線的方程為，聯立直線方程與橢圓方程，利用判別式大于求得的取值范圍，再由根與系數的關系，結合，把用含有的表達式表示，則實數的取值范圍可求.

試題解析：(1)由題意，得a＝2c，b＝c，則橢圓E為.

由，得x2－2x＋4－3c2＝0.

∵直線與橢圓E有且僅有一個交點M，

∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0c2＝1，

∴橢圓E的方程為.

(2)由(1)得M，

∵直線與y軸交于P(0,2)，

∴|PM|2＝，

當直線l與x軸垂直時，

|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，

∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|λ＝，

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，

依題意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，

∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，

∴λ＝ (1＋)，

∵k2>，∴<λ<1.

綜上所述，λ的取值范圍是[，1)．